1. Controlul comportării haotice a modelului microeconomic – stabilizarea UPO.

 

Un control al pieţei, realizat de firma Y, se poate realiza datorită unei modificări propice a strategiei de investiţie, prin adăugarea unei “forţe de control”

Mdificarea parametrului de control K induce modificări substanţiale în evoluţia pieţei, sistemul comută între comportări haotice şi periodice.

Controlul haosului este legat de stabilizarea UPO-urilor (orbitelor periodice instabile), trebuie deci ca exponentul Lyapunov a orbitei stabilizate să fie schimbat într-un asemenea mod astfel încât toţi coeficienţii Lyapunov să devină negativi! Trebuie remarcat faptul că Jacobianul sistemului controlat, JK, este o matrice care are dimensiunea D mai mare întotdeauna decât dimensiunea Jacobianului sistemului necontrolat. Faptul este legat de apariţia unui gard de libertate suplimentar ca efect al forţei de control. Astfel dinamica sistemului se modifică conform

unde m reprezintă întârzierea faţă de care se raportează forţa de control, sistemul trecând în acest caz într-o manifestare 3D şi nu 2D.

Să considerăm de exemplu cazul prezentat în figura de mai jos, unde sistemul, caracterizat de , este trecut din stări necontrolate, haotice, în stări controlate, periodice.

 

 

 

 

 

 

Fig. 10. Evoluţia temporală a modelului microeconomic controlat, vânzările celor două firme, Y şi X

           

             Iniţial sistemul evoluează pe o orbită haotică, având o medie a vânzărilor realizate de firma Y de . Apoi firma Y comută pe control, cu parametrii K=0.5, m=1, şi sistemul atinge rapid o orbită fixă, piaţa este stabilizată pe o orbită de perioadă unu (vânzările ambelor firme sunt fixate pe o constantă, sub valoarea medie a vânzărilor,  corespunzând pieţei necontrolate). În acest caz controlul este dezavantajos, implicând o scădere a vânzărilor. Firma Y lasă din nou piaţa liberă, sistemul trece din nou pe o orbită haotică, cu o medie a vânzărilor  apropiată de cazul iniţial, după care sistemul devine din nou controlat, de data asta cu parametrii K=-0.1, m=2, sistemul trecând de această dată pe o orbită cu perioadă (deoarece şi m=2), având o medie a vânzărilor de , mai mare ca în cazul necontrolat. În general, posibilitatea controlului haosului depinde de alegerea variabilei sistem folosită şi de timpul de întârziere (m), se impune deci o analiză teoretică efectuată asupra dinamicii sistemului.

Controlul pieţei introdus de firma Y impune stabilizarea întregului sistem,  interesant este faptul ca şi vânzările X devin periodice. În cazul controlului cu o perioadă dublă de întârziere, m=2, K=-0.1, vânzările firmelor oscilează periodic între două valori, valoarea medie a vânzărilor fiind mai mare decât valoarea corespunzătoare a pieţei necontrolate. Acest efect este realizat pe cheltuiala celorlalte firme ce acţionează pe piaţă.

Important este de arătat este faptul  că Controlul este local în timp - valoarea forţei de control tinde la zero după trecerea sistemului în starea dorită.

 

 

 

 

 

  

 

Fig. 11. Evoluţia temporală a „forţei” de control, realizată de firma Y, asupra sistemului

             Controlul prin feedback întârziat corespunde unei posibile comportări a unei firme care îşi modifică politica luând în considerare valori ale veniturilor sau vânzărilor prezente şi trecute, şi pe cele ale unei firme competitoare.

Este de subliniat posibilitatea de control ce se poate realiza şi prin controlul altor parametrii [7], de exemplu prin descreşterea dimensiunilor investiţiilor, , prin modificarea parametrilor funcţionali ai sistemului,   , sau prin folosirea a mai multor temeni de control întârziat, .  

 

2. Corelarea cu comportări haotice prezente în fizica laserilor

 

Dinamica haotică a modelului permite realizarea de apropieri cu manifestări similare din fizică, alegând aici discuţia manifestărilor haotice care apar în cazul unei diode laser cu cavitate extinsă, care funcţionează multimod sau monomod, şi asupra căreia se poate intervenii prin modificarea parametrilor de control ai sistemului, curentul de injecţie, coeficientul de cuplaj al cavităţii exterioare, sau lungimea cavităţii exterioare, ca şi prin modularea curentului de injecţie sau a luminii re-injectate în cavitatea interioară, realizându-se în acest fel un control al manifestării haotice a sistemului, trecerea sa dintr-o dinamică impredictibilă, la o dinamică cunoscută [19-21]. 

            Modelarea acestui sistem are ca punct de plecare ecuaţiile Lang-Kobayashi, aceste ecuaţii sunt considerate în general ca fiind o aproximare validă a modului de operare a unui laser cu semiconductori operând mono-mod şi având un feedback moderat.

Plecam de la sistemul de ecuaţii de rata diferenţiale Lang-Kobayashi [22], care modelează emisia câmpului complex emis de dioda laser monomod cu cavitate exterioara (), acesta are o comportare data de [23-24]:

 şi

unde modul singular longitudinal are frecventa unghiulară de oscilaţie ( operare in mod continuu) w, t reprezintă timpul de propagare in cavitate exterioara care are un coeficient de întoarcere pentru câmpul re-injectat in cavitate , kext=0.02…0.6. Frecventa unghiulara a modului m a laserului solitar este: , , mc numărul modului central iar M numarul total de moduri active. Spaţierea modurilor longitudinale este data de  şi frecventa de oscilaţie instantanee a modului m este . Termenul complex de emisie aleatoare spontana x este presupus un zgomot alb necorelat Gaussian , cu medie zero si rata de emisie spontana b. Presupunem de asemenea ca factorul de putere cuplata de cavitatea exterioara este acelaşi pentru toate modurile, , si ca nu exista corelaţie intre  modurile reinjectate, de asemenea pentru cazul unui feedbck selectiv, pe un singur mod, n, .  (24.7 THz) este banda câştigului materialului laser.

            Desigur, cel puţin din punct de vedere formal, dinamica prezentă de acest model este mai „complicată” decât dinamica prezentată de modelul microeconomic, dar să nu uităm că folosind anumite schimbări de variabile, şi fixând anumiţi parametrii ai sistemului, ecuaţiile care descriu această dinamică se reduc la sisteme mai compacte, nu cu mult deosebite de dinamica modelului microeconomic cu un număr oarecare de agenţi.

            Primul lucru care ar fi de remarcat ar fi acela al existenţei unui număr de moduri longitudinale active simultan, echivalentul agenţilor din modelul microeconomic, formal prezentate de oscilatori haotici având ecuaţii dinamice simulare, dar cu coeficienţi diferiţi (care îi separă ca şi comportament), acţionând toţi pe acelaşi sistem fizic, competitivi în sensul că toate modurile (oscilatorii haotici) sunt cuplate având aceeaşi sursă de “hrănire” (curentul injectat) şi fiind sub aceleaşi condiţii de feed-back, similar agenţilor economici care sunt competitivi pe o piaţă relativ fixă, cu variaţii relativ lente ale capitalului total circulat, toţi aflându-se în condiţiile aceleiaşi dinamici globale.

            Desigur, ca şi în sistemul laser putem avea doar două firme (moduri) „active”, sau un număr relativ mare de firme concurente. Ca şi în cazul emisiei laser, putem controla dinamica haotică, fir prin controlul feed-back-ului fie prin modularea unui anumit parametru, realizându-se în ambele cazuri o estimare viitoare a evoluţiei dinamice a sistemului.

            Să vedem câteva dintre evoluţiile sistemului laser şi modul în care acestea ar putea avea un corespondent în sistemul microeconomic analizat.

            În cazul sistemului laser solitar, care evoluează monomod, fără cuplaj cu un alt sistem laser, evoluţia dinamicii haotice este drastic influenţată de valorile parametrilor, ca şi în cazul dinamicii modelului microeconomic, şi poate evolua pe o orbită fixă, pe o traiectorie haotică slab sau înalt haotică (vezi Figura 11b)

 

 

 

 

 

 

  

Fig. 11b. În funcţie de parametrii de control sistemul laser poate evolua pe: a) orbite fixe sau înalt haotice, b) stări haotice joase sau c) stări de înaltă dimensiune haotică – fluctuaţiile de înaltă frecvenţă, în apropierea criticalităţii

 

O situaţie interesantă, care poate avea o echivalenţă într-o aplicaţie asupra modelului microeconomic este modul de funcţionare a două sisteme (laser) monomod identice cuplate, unul – master, evoluând ca în cazul figurii 12 într-un punct fix (emisie continuă - nehaotică) şi celălalt – slave funcţionând pe o orbită haotică. În funcţie de gradul de „control” (factor de cuplaj) sistemul master îşi impune evoluţia proprie asupra sistemului slave, dacă controlul este puternic, slave-ul îşi părăseşte propria orbită haotică şi urmează în traiectoria masterului, important de remarct că acest lucru este valabil şi dacă masterul are el însuţi o traiectorie haotică diferită de cea a slave-ului. Dacă puterea controlului scade slave-ul trece prin stări haotice joase spre starea sa caracteristică, atinsă la o valoare suficient de mică a influenţei exterioare.

O altă modalitate de control a traiectoriei haotice a unui sistem, laser în acest caz, este modularea unui parametru de control al sistemului. Acestă modulare se poate realiza prin controlul curentului injectat în dioda laser sau prin modularea electro-optică, de fază, a luminii re-injectate din cavitatea exterioară. Foarte interesantă este manifestarea de rezonanţă, care apare în acest caz, spre deosebire de rezonanţa anterioară, master-slave la care starea rezonantă reproducea starea de referinţă, în acest caz, modularea exterioară

 

 

 

 

 

 

Fig. 12. În funcţie de parametrul de cuplaj master-slave, emisia slave-ului este influenţată în mod dramatic de controlul master-ului (de la stânga spre dreapta mărimea factorului de cuplaj scade)

 (sinusoidală de diferite frecvenţe) induce în sistem răspunsuri sincrone (vezi Figura 13) dar nu identice cu dinamica controlului. Se produce o modificare evidentă a dinamicii sistemului, care trece dintr-o evoluţie de tip fluctuaţii de joasă frecvenţă, LFF, la limita criticalităţii, într-o manifestare controlată, similară ca formă exterioară, dar cu frecvenţe ale căderilor de putere ce caracterizează LFF, care sunt într-o relaţie de raport de numere întregi cu frecvenţa modulatoare. Această sincronicitete a manifestărilor nu se produce pentru orice frecvenţă modulatoare, ci doar pentru anumite, în apropierea acestora sistemul având comportări ce arată tendinţa de cuplare a traiectoriilor (vezi figura de mai jos).

                                                                         

 

 

 

 

                

 

 

 

 

Fig. 13. Controlul evoluţiei haotice prin modularea electro-optică a câmpului reinjectat. Sus stânga – emisia haotică de tip fluctuaţii de joasă frecvenţă a diodei laser fără control, sus-dreapta – frecvenţa de control a modulatorului electro-optic este de 1e6 Hz (stare rezonată), jos-stânga – frecvenţa de control a modulatorului electro-optic este de 5e6 Hz (stare rezonată), şi jos-dreapta – în apropierea unei frecvenţe de rezonanţă, oscilatorul încercă comută din stări rezonante pe stări ne-rezonante

            Foarte interesantă din punct de vedere al manifestărilor pe care le aşteptăm din partea modelului microeconomic având un număr mare de agenţi, este comportarea sistemului laser multimod, de fapt un număr de oscilatori (agenţi) haotici similari, acţionând toţi pe acelaşi sistem fizic, competitivi cuplaţi. În cazul funcţionării sistemului în modul de LFF (sistemul prezintă modificări intermitente ale emisiei laser, cu căderi repetate dar nu strict periodice la zero) se observă (Figura 14) că toate modurile active sunt într-o stare „rerzonantă”. Ele au căderi comune la zero, dar între căderi anvelopa emisiei fiecărui mod pare că are o evoluţie independentă (Figura 15).  

 

 

 

 

 

 

 

Fig. 14. Seria temporală pentru 1ms (0.4×106 iteratii), emisie LFF. Se observa ca modulaţia de “joasa frecventa” (LFF) care apare prezentă pe toate modurile active ale laserului.

 

 

 

 

 

 

Fig. 15. Se observă modulaţia de “joasă frecvenţă” (LFF) care apare prezentă pe toate modurile active ale laserului, dar şi rezonanţa modurilor în interiorul anvelopei prin pulsurile de putere corelate între moduri.

           De asemenea interesantă este comportarea la scară temporală foarte mică a modurilor, ele par a fi compuse din spike-uri corelate pe toate modurile, dar de amplitudini diferite, care formează anvelopa observabilă la scară temporală mare a fluctuaţiilor de joasă frecvenţă. Această comportare de corelare între dinamica modurilor-agenţilor dispare atunci când curentul de injecţie creşte şi nu mai suntem în condiţiile LFF, modurile având de această dată o evoluţie haotică, ce pare independentă (Figura 16).

 

 

 

 

 

 

 

Fig. 16. Seria temporala la I=40mA. Se observa dispariţia modulaţiei LFF pe toate modurile active ale laserului şi lipsa corelaţiilor în structura intimă a dinamicii acestor moduri.

            Şi în cazul dinamicii modelului microeconomic cu un număr mare de agenţi ar trebui să ne aşteptăm la manifestări similare, în anumite condiţii dinamice, agenţii comerciali ar trebuii să manifeste comportări inter-corelate, în care evoluţiile temporale ale fiecăruia să corespundă cu ale celorlalţi, iar în cazul altor parametrii dinamici, traiectoriile temporale ale fiecărui agent ar putea să pară complet haotice şi lipsite de corelaţie cu ai celorlalţi. Este de fapt manifestarea care se observă în realitate, unde dinamica unităţilor de pe o piaţă pare stohastică, întâmplătoare, şi corelaţiile cu dinamica altor agenţi este forte greu de pus în evident.