1

1. haosul – între determinism şi incertitudine

Credinţa şi aşteptările cu privire la comportarea deterministă şi în final posibil de înţeles în cel mai profund sens a manifestării, marchează eforturile umane perene de a explica ştiinţific şi a conştientiza lumea fizică. Încercăm cu încăpăţânare să reflectăm în legi, legătura completă dintre cauză şi efect în natură.

Conceptul filosofic al determinismului implică trăsătura conform căreia orice fenomen sau acţiune este rezultatul direct al unor evenimente anterioare. Astfel, cel puţin în principiu, orice eveniment poate fi complet determinat şi prevăzut. Evident o predicţie clară s-ar putea realiza doar dacă observatorul are o precizie infinită în cunoaşterea condiţiilor iniţiale şi a tuturor influenţelor conexe. Din păcate experienţa ne evidenţiază imposibilitatea unei precizii infinite în măsurătoare, ceea ce implică imposibilitatea determinării totale a condiţiilor iniţiale ale sistemelor.

Ştiinţa încercă să furnizeze informaţii cu privire la comportarea sistemelor departe în viitor. Îmbunătăţirea acurateţei metodei şi experimentului ne poate duce cu gândul la posibilitatea predicţiei comportării sistemului oricând în viitor. Poincaré a fost primul gânditor care a marcat faptul că nici un calcul, oricât de precis, nu poate determina evoluţia unui sistem fizic, departe în timp. Chiar un sistem relativ simplu, ca în cazul evoluţiei unui sistem de trei corpuri sub interacţiune gravitaţională, datorită faptului că orice imprecizie, oricât de mică, în condiţiile iniţiale, conduce la deplasări ale traiectoriei evoluţiei sistemului care cresc în timp din ce în ce mai mult.

Iniţial abordata de Poincare si ulterior de Lorentz (prin studiul fluidelor încălzite) dinamica neliniară prin caracteristicile sale esenţiale, puternica dependenta a evoluţiei sistemului de condiţiile iniţiale si structura fractală a traiectoriilor, devine una din direcţiile de baza ale studiului naturii.

Haosul [1-6] studiul comportării aperiodice, nestabile a sistemelor dinamice neliniare, devine pe zi ce trece mai prezent in abordarea teoretica si practica a fizicii in general si a fizicii laserilor in particular. Sensibilitatea la condiţiile iniţiale, aşa numita instabilitate dinamică, a început să concretizeze un domeniu nou de reflectare a naturii, haosul.

Numit de Lorentz "curgere deterministă neperiodică" [7], şi având rădăcina în analiza şi modelarea matematică a curenţilor de aer încălziţi de soare, soluţiile ecuaţiilor care modelează acest fenomen variază drastic de fiecare dată când valorile iniţiale sunt foarte puţin modificate, aşa numitul "efect de fluture", care poetic spune că o bătaie a aripii unui fluture, undeva în lume, poate stârnii o furtună, mai târziu, în altă parte a lumii. Acelaşi model a fost confirmat şi pentru ²spike²-urile neregulate ce apar în emisia laser [8-9].

În general sunt acceptate (din punct de vedere matematic) două feluri de sisteme dinamice, ecuaţiile diferenţiale cuplate neliniare precum şi hărţile iterative (sau ecuaţiile de tip diferenţă) [10-12] care pot modela comportarea unor sisteme fizice complexe, până de curând de neabordat datorită puterii de calcul numeric reduse. Apropierea dintre cele două tipuri de abordări ţine de modalitatea de punere a problemei, în termeni de evoluţie continuă sau discretă a sistemelor. Chiar sisteme dinamice “simple” ca pendulul sau un circuit electric format dintr-o bobină si un condensator pot manifesta comportări atât de imprevizibile si complexe încât ele sa pară aleatoare.

Toate sistemele haotice au două trăsături în comun. Ele sunt neliniare şi implică anumite reguli iterative. Analiza numerică a acestor sisteme este de obicei singura posibilitate de analiză a unor astfel de sisteme. Unele aspecte deosebit de semnificative şi fundamentale ale teoriei haosului sunt relevate de analiza unor ecuaţii matematice "simple" cum ar fi aşa numita "hartă logistică" [11]. În funcţie de valoarea iniţială a parametrului de control, sistemul poate evolua spre orbite stabile, constante sau periodice, sau spre orbite ne-periodice, de tip haotic. Dacă se reprezintă toate valorile pe care le poate lua un sistem reprezentat de o astfel de ecuaţie funcţie de valoarea parametrului de control se obţine aşa numitul "arbore cu bifurcaţii" care reprezintă de fapt o reprezentare a spaţiului fazelor pentru sistemul parametrizat. Ce este remarcabil în aceste reprezentări ale evoluţiilor haotice, chir şi pentru această ecuaţie simplă, este faptul că sub-regiunile acestor suprafeţe, cu bifurcaţiile pe care le ia sistemul, sunt similare unele cu altele şi cu întreaga diagramă. Auto-similitudinea, care se repetă la cale mai mici rezoluţii, este caracteristică şi figurilor geometrice numite "fractali" [13-14]. Dar situaţia este mult mai generală, diagrame similare se pot genera atunci când folosim pentru reprezentarea sub formă de "hartă" orice funcţie uni-dimensională, lină şi ne-monotonă.

Comportarea unor astfel de sisteme se poate împărţii în trei categorii. Prima este aceea în care sistemul tinde către o valoare fixă unde rămâne după aceea. A doua este aceea a unei reîntoarceri ciclice prin anumite valori după o perioadă finită de timp (caz în care putem prevedea o valoare a mărimilor caracteristice ale sistemului undeva în viitor – fără a face concret toate iteraţiile de calcul). A treia categorie este aceea a regimului haotic unde valorile pe care le ia sistemul sunt nepredictibile (dar posibil de calculat întotdeauna prin calculul propriu zis al tuturor iteraţiilor până la acel punct) şi care depinde de funcţia concretă ce descrie fenomenul şi de valoare iniţială a parametrului de control.

Deoarece predicţiile matematice pe termen lung făcute pentru sisteme evoluând pe traiectorii haotice nu sunt mai precise decât cele realizate pentru sisteme aleatoare, prezenţa haosului este în general ataşată noţiunii de incertitudine. Cea mai interesantă comportare a unui sistem ne-liniar este tranziţia de la o stare ordonată la una haotică.

Există un mare număr de metode calitative şi cantitative de analiză a comportării haotice a sistemelor dinamice. Printre aceste metode variate, cele mai utilizate sunt hărţile Poincaré pentru reprezentările temporale ale evoluţiei sistemului ("time delay embedding"), analiza spectrală şi dimensiunea fractală [15-16]. O metodă consacrată în analiza semnalelor este aceea a transformatei Fourier. Spectrul de putere al unui semnal haotic (de obicei seria temporală a unei mărimi caracteristice a sistemului) se prezintă ca o bandă largă monotonă, de relaxare, care reprezintă o semnătură tipică a haosului. O măsură importantă a structurii "spaţiale" a traiectoriei în spaţiul fazelor este dimensiunea sa fractală [17-18]. Dimensiunea este definită ca numărul de grade de libertate disponibile într-un spaţiu pe direcţii ortogonale. Dimensiunea topologică a unui spaţiu reprezintă dimensiunea locală maximă, definită ca plus unu din dimensiunea minimă a unui obiect având capacitatea de a separa acel spaţiu în două părţi distincte. Obiectele supuse unei transformări punct cu punct (homeomorphism) trebuie să-şi conserve în general dimensiunea. O caracteristică a traiectoriilor haotice, similară sistemelor fractale, este aceea că ele îşi depăşesc dimensiunea generatoare.

Traiectoria temporală a unui sistem în spaţiul fazelor (transformată prin discretizare într-o serie temporală) defineşte vectorul de stare al sistemului. Proiecţia acestui vector pe una din dimensiunile spaţiului fazelor, reprezintă variaţia temporală a unei mărimi caracteristice x(t). Harta Poincaré - "delay embedding map" sau harta înfăşurării temporale - reprezintă traiectoria evoluţiei acestei mărimi prezentată într-un spaţiu multidimensional ale cărui dimensiuni sunt date de seria întârzierilor temporale ale mărimii, adică íx(t), x(t+T), x(t+2T),...ý unde T reprezintă un interval de întârziere. Această reprezentare este foarte utilă în punerea în evidenţă a alurii evoluţiei temporale a sistemelor dinamice multidimensionale.

2. ECONOFIZICA

Pieţele financiare sunt sisteme cu un mare număr de comercianţi care interacţionează unii cu alţii şi reacţionează la informaţiile externe cu scopul de a determina cel mai bun preţ pentru un anumit obiect. Bunurile pot fi foarte diferite ca animale, minereuri, acţiuni, valute sau titluri – sau alte produse derivate aflate la baza celorlalte tipuri de produse. Unele pieţe financiare sunt localizate în anumite oraşe pe când altele (ca pieţele de schimb monetar – valutar) sunt delocalizate şi accesibile oriunde în lume. Atunci când analizăm seria temporală a evoluţiei în timp a unui preţ, a volumului sau numărului de tranzacţii a unui produs financiar, putem observa că aceste evoluţii temporale sunt impredictibile. O importantă serie temporală, ca cea a preţului unui bun financiar, este indistinctibilă determinata de un proces stohastic.

Larg acceptată în teoria financiară este idea că seriile temporale ale preţurilor bunurilor sunt ne-predictibile. Această credinţă este piatra de temelie a descrierii dinamicii preţurilor ca un proces stohastic. Încă din anii 1980 s-a recunoscut în fizică faptul ca seriile temporale ne-predictibile şi procesele stohastice nu sunt sinonime. În mod special, teoria haosului, a arătat că serii temporale ne-predictibile se pot obţine şi pentru sisteme deterministe neliniare. Rezultatele obţinute în studiul sistemelor fizice şi biologice a declanşat un interes şi asupra studiului sistemelor economice, studii empirice şi teoretice au investigat dacă evoluţia temporară a preţurilor bunurilor pe pieţele financiare poate fi într-adevăr datorată fundamental unei dinamici neliniare deterministe a unui număr (limitat) de variabile.

Unul dintre scopurile cercetătorilor care studiază piaţa financiară cu uneltele dinamicii neliniare a fot acela de a reconstrui atractorul straniu (ipotetic) prezent în evoluţia temporal haotică şi în a-i măsura dimensiunea. Reconstrucţia atractorului fundamental şi a dimensiunii lui nu este o sarcină uşoară. Cea mai probabilă estimare a dimensiunii este aceea că ea este superioară dimensiunii şase. Pentru sisteme haotice de acest tip este mai degrabă dificilă distincţia dintre o evoluţie haotică temporală sau un proces aleatoriu, în special dacă dinamica neliniară caracteristică este necunoscută. Dintr-un punct de vedere empiric, este puţin probabil să fie posibil să discriminăm între ipoteza aleatoare şi cea haotică.

Deoarece nu poate fi legiferat faptul că pieţele financiare urmează o dinamică haotică, încă se lucrează cu o paradigmă conform căreia dinamica preţurilor bunurilor este un proces stohastic. Evoluţia temporală a preţurilor bunurilor depinde de toate informaţiile ce afectează (sau credem că afectează) bunul investigat şi pare puţin probabil ca toate aceste informaţii să poată fi descrise în mod esenţial de un număr mic de ecuaţii neliniare deterministe.

În ultima vreme au apărut însă o serie întreagă de dovezi care analizează gradul de determinism prezent în datele financiare, folosind de exemplu analiza prin „recurence plot” [12], sau chiar modelări ale unor sisteme microeconomice la care poate fi contolată comportarea haotică [13].

3. concepte cheie ale ştiinţei economice şi abordarea lor din perspectiva fizicii

Arbitrajul - un concept cheie pentru înţelegerea pieţei este conceptul de arbitraj – cumpărarea şi vânzarea unui aceluiaşi produs sau produs echivalent cu scopul de a profita de discrepanţele de preţ. Acest tip de oportunitate de arbitraj poate fi observată des pe pieţele financiare.

Prezenţa comercianţilor care caută condiţii de arbitraj contribuie la abilitatea pieţei de a evolua în modul cel mai raţional privind preţul bunurilor. Pentru a vedea acest fapt să presupunem că cineva a găsit o oportunitate de arbitraj. O va exploata şi dacă reuşeşte să facă un profit va repeta aceeaşi acţiune. După o perioadă de timp, preţurile în ambele locaţii vor devenii mai „raţionale”, şi astfel nu vor mai asigura oportunităţi de arbitraj.

Ipoteza pieţei eficiente - Pieţele sunt sisteme complexe care incorporează informaţii despre un anumit produs în seriile temporale ale preţului său. Paradigma cea mai acceptată printre cercetătorii din finanţe este că piaţa este foarte eficientă în determinarea celui mai raţional preţ pentru bunurile tranzacţionate. Ipoteza pieţei eficiente a fost iniţial formulată în anul 1961 [65]. O piaţă se numeşte eficientă dacă toate informaţiile disponibile sunt procesate instantaneu când ajung la piaţă şi sunt reflectate imediat în noile valori ale preţurilor bunurilor tranzacţionate.

Motivaţia teoretică pentru ipoteza pieţei eficiente îşi are rădăcinile în lucrările de pionierat ale lui Bachelier [66], care la începuturile secolului douăzeci a propus ca preţurile bunurilor pe o piaţă speculativă să fie descrise ca procese stohastice. Munca sa a rămas aproape necunoscută până în anii 1950 când rezultate empirice [67] legate de corelaţiile seriale ale ratei de întoarcere au arătat faptul că corelaţiile pe durate temporale scurte sunt neglijabile şi comportarea aproximativă a seriilor temporale este într-adevăr similară cu cea a drumurilor aleatoare ne-corelate. Ipoteza pieţei eficiente a fost explicit formulată în anul 1965 de Samuelson [68], care a demonstrat matematic că preţurile anticipate corespunzător fluctuează aleatoriu. Folosind ipoteza comportării raţionale şi a eficienţei pieţei, el a putut să demonstreze că valoarea aşteptată a preţului unui anumit produs la un anumit moment este legată de valorile anterioare ale preţurilor (procesele stohastice numite martingale). Concluzia acestei forme „uşoare” a ipotezei pieţei eficiente este atunci aceea că schimbările de preţ sunt impredictibile din seria temporală a acestor schimbări.

Astfel observaţiile empirice şi consideraţiile teoretice au arătat că schimbările de preţ sunt dificil, dacă nu imposibil de prezis, dacă una dintre caracteristicile de pornire ale seriei temporale a preţurilor se schimbă. În forma strictă, ipotezei pieţei eficiente este un sistem idealizat. In piaţa concretă, ineficienţe reziduale sunt întotdeauna prezente. Căutarea şi exploatarea oportunităţilor de arbitraj este una dintre căile de eliminare a ineficienţei pieţei.

Teoria complexităţii algoritmice - descrierea unui joc corect în termeni de martingale este mai degrabă formală. Teoria algoritmică a complexităţii a fost dezvoltată independent de Kolmogorov [70] şi Chaitin [71] la mijlocul anilor 1960, întâmplător în acelaşi timp cu aplicaţiile martingale-lui în economie. În teoria algoritmică a complexităţii, complexitatea unui anumit obiect codat într-o secvenţă binară de n digiţi este dată de lungimea celor K⁽ⁿ⁾ biţi, ai celui mai scurt program de calculator care poate imprima aceeaşi secvenţă simbolică. Kolmogorov a arătat că un asemenea program există; şi a denumit acest algoritm „optim asimptotic”. De exemplu pentru scrierea valorii lui p şi seria temporală a valorilor mediei zilnice ale indicelui industrial Dow-Jones scriem cele două secvenţe de numere folosind, pentru fiecare serie separat, un algoritm ce ţine seama de regularităţile prezente în fiecare secvenţă de numere. Cel mai bun algoritm găsit pentru secvenţa valorilor lui p este foarte scurt. În contrast, un algoritm cu o eficienţă asemănătoare nu a fost găsit pentru indicele Dow-Jones. Seria temporală a indicelui Dow-Jones este o serie ne-redundantă.

În cadrul teoriei complexităţii, o serie de simboluri sunt considerate impredictibile dacă informaţia cuprinsă în ele nu poate fi „comprimată” sau redusă la o formă mai compactă. Această afirmaţie este formal echivalentă cu a spune că cel mai eficient algoritm ce reproduce o anumită serie de simboluri are aceeaşi lungime cu seria iniţială.

Teoria algoritmică a complexităţii ne ajută să înţelegem comportarea unei serii financiare temporale, ea: face o conexiune clară între ipoteza pieţei eficiente şi caracterul impredictibil al preţurilor bunurilor (această conexiune este manifestată acum de proprietatea că o serie temporală care are o densitate mare de informaţie economică ne-redundantă prezintă caracteristici statistice care sunt aproape ne-discernabile de cele observate într-o serie temporală aleatoare); măsurarea deviaţiei de la caracterul aleator furnizează o unealtă pentru a verifica valabilitatea şi limitările ipotezei pieţei eficiente; din punctul de vedere al teoriei algoritmice a complexităţii, este imposibil să discernem între comerţul de tip „zgomot” sau cel de tip „informaţie” (informaţiile fundamentale privind bunurile comercializate, intern sau extern pieţei)- teoria algoritmică a complexităţii nu detectează nici o diferenţă între o serie temporală care poartă o mare cantitate de informaţii economice ne-redundante şi un proces pur aleatoriu.

Sisteme idealizate în fizică şi finanţe - Piaţa eficientă este un model idealizat şi piaţa reală este numai aproximativ eficientă. Acest fapt nu sună ne-familiar fizicienilor deoarece ei sunt bine acomodaţi cu studiul sistemelor idealizate. Într-adevăr, utilizarea sistemelor idealizate în investigaţia ştiinţifică a fost folositoare în dezvoltarea fizicii ca disciplină. Cum ar arăta fizica fără idealizări ca mişcarea fără frecare, transformările reversibile în termodinamică, sau sisteme infinite în stare critică. Fizicienii folosesc aceste abstractizări pentru a dezvolta o teorie şi a proiecta experimente. În acelaşi timp fizicienii nu uită că sistemele idealizate aproximează numai lumea reală, şi comportarea sistemelor reale va diferii întotdeauna de cea a unui sistem ideal. O abordare asemănătoare poate fi făcută şi în cazul studiului sistemelor financiare. Putem presupune realistic condiţii „ideale”, de exemplu existenţa unei pieţe eficiente perfecte, şi în folosind acest cadru idealizat să dezvoltăm teorii şi să efectuăm teste empirice. Valabilitatea rezultatelor va depinde de valabilitatea presupunerilor făcute.

Clase importante de procese stohastice - Clasa proceselor aleatoare infinit divizibile este o clasă largă care include clasa proceselor aleatoare stabile. Procesele aleatoare infinit divizibile pot avea varianţă finită sau infinită [72, 73]. Procesele aleatoare stabile ne-Gaussiene au varianţă infinită, pe când procesul Gaussian este singurul proces stabil cu varianţă finită.

Scalele şi sistemele de măsură în datele financiare - O cantitate imensă de date financiare este înregistrată şi stocată în calculatoare în mod curent. Într-adevăr, astăzi orice tranzacţie de pe orice piaţă financiară a lumii este înregistrată într-un anumit fel. Natura şi formatul acestor date depinde de bunul financiar aflat în discuţie şi de instituţia particulară care colectează datele. Datele au fost înregistrate fie pentru fiecare zi (începând din secolul XIX) fie cu o rată de eşantionare de 1 minut (din 1984) şi în ultima perioadă tranzacţie cu tranzacţie. Analize statistice ale datelor financiare au fost realizate încă de la data începerii înregistrărilor. Atunci când procesarea datelor pe calculator a devenit posibilă, analiza statistică a implicat progresiv un număr din ce în ce mai mare de înregistrări financiare (Mandelbrot analiza preţul bumbacului folosind » 2×10³ înregistrări, analiza indexului Standard & Poor 500 [75] analiza » 5×10⁵ înregistrări, iar un studiu recent [76] folosea 4×10⁷ schimbări relative ale preţului pentru primele 1000 cele mai mari companii tranzacţionate la „New York Stock Exchange”). Analizele statistice ale pieţelor sunt esenţiale, atât pentru motive fundamentale privind înţelegerea dinamicii pieţelor, cât şi pentru scopuri practice legate de problema cheie a opţiunii de preţ şi managementul portofoliilor.

În fizică, problema unităţilor de referinţă este considerată de bază în toate experimentele şi lucrările teoretice. Se fac eforturi continue pentru a găsii unităţile de referinţă optimale şi de a îmbunătăţii acurateţea determinării lor. O ramură a fizicii, metrologia, este dedicată exclusiv acestei sarcini, şi există mari institute specializate în metrologie peste tot în lume. În finanţe, este prezentă aproape situaţia opusă. Scala folosită este deseori dată în unităţi (monede) care sunt ele însele fluctuante în timp iar tranzacţiile se efectuează la momente aleatoare cu intensităţi aleatoare. Din acest motiv, trebuie multă precauţie luată în selectarea celor mai optime variabile de a fi studiate, luând în considerare presupunerea implicită asociată cu fiecare alegere posibilă.

Unitatea de preţ a bunului material este de obicei moneda ţării în care piaţa financiară specifică este localizată. Valoarea monedei nu este constantă în timp. O monedă îşi poate schimba valoarea datorită inflaţiei, creşterii sau recesiunii economice, şi fluctuaţiilor de pe piaţa monetară globală.

Alegerilor scalelor de timp optime ce pot fi utilitate la analizarea datelor pieţei este şi ea o problemă dificilă. Candidaţii posibili pentru scala temporală „corectă” includ: timpul fizic, timpul tranzacţiilor (al pieţei), sau numărul alocat tranzacţiilor. O alegere lipsită de discuţii nu este posibilă. Ca şi în cazul unităţilor de preţ, toate definiţiile au merite şi toate au probleme. Când examinăm schimbările de preţ ce au loc atunci când apare o tranzacţie, trebuie notat că fiecare tranzacţie ce are loc la un moment aleatoriu în timp fapt care implică o variabilă aleatoare, volumul bunului tranzacţionat.

Timpul fizic este bine definit, dar bursele de mărfuri se închid noaptea, peste week-end-uri şi de sărbători. O limitare similară este de asemenea prezentă şi pe o piaţă globală, ca cea monetară internaţională. Cu toate că această piaţă este deschisă 24 de ore pe zi, organizaţiile sociale de afaceri ca şi ciclurile biologice forţează activitatea pieţei să aibă constrângeri temporale pentru fiecare regiune a globului. Alegând un timp fizic, nu ştim cum să modelăm dinamica stohastică a preţurilor şi fluxul de date pe perioada orelor când piaţa este închisă.

Timpul tranzacţiei este bine definit în schimbul de mărfuri – este timpul ce a trecut de la ora de deschidere a pieţei financiare. Pe pieţele monetare internaţionale el coincide cu timpul fizic. Studii empirice au încercat să determine varianţa logaritmului schimbărilor de preţ observate de la închidere la închidere pe pieţele financiare. Aceste studii arată că varianţa determinată considerând valorile de închidere ale zilelor succesive este cu numai 20% mai mică decât varianţa determinată considerând valorile de închidere peste week-end [77]. Această observaţie empirică susţine alegerea folosirii timpului de tranzacţie în modelarea dinamicii preţurilor. Într-adevăr, timpul de tranzacţie este cea mai comună alegere în studiile de cercetare şi în studiile realizate pentru determinarea volatilităţii în opţiunea preţurilor. Totuşi, există probleme care se ridică şi acestei definiţii. Anume, informaţii afectând dinamica preţului bunului financiar pot exista pe durata închiderii pieţei (sau când activitatea si este neglijabilă într-o anumită arie financiară), în analiza de înaltă frecvenţă modificările preţurilor de peste noapte sunt tratate ca schimbări pe termen scurt, şi activitatea pieţei se presupune că este uniformă pe durata orelor cât este deschisă. Această din urmă presupunere nu este verificată de analize empirice. Activitatea pieţei nu este uniformă pe durata orelor cât este deschisă, nici în termeni de volum nici ai numărului de contracte. Mai precis, un ciclu zilnic este observat în datele de piaţă: volatilitatea este mai mare la deschiderea şi închiderea pieţei, şi de obicei cea mai scăzută valoare intervine la mijlocul zilei.

Putem să analizăm şi alte definiţii ale activităţii temporale care nu sunt afectate de faptul că activitatea tranzacţională nu este uniformă în timp. O definiţie se referă la indexul numărului tranzacţiilor efective ce au loc pe piaţă pentru un anumit bun financiar. Folosirea acestei definiţii nu este uşoară deoarece date de tip „tick-by-tick” sunt necesare pentru a realiza o analiză statistică în termenii acestui index temporal. Totuşi, o asemenea analiză este posibilă astăzi deoarece acest tip de date sunt disponibile, cel puţin pentru unele pieţe financiare. Dacă „timpul” este definit în termeni de număr al tranzacţiei, atunci o sursă de manifestare aleatoare observată în pieţele financiare este eliminată, anume timpul ce separă două tranzacţii. Oricum rămâne în continuare a doua sursă aleatoare, volumul tranzacţiilor.

Staţionaritatea şi corelaţiile temporale - gradul de staţionaritate observat în seriile temporale ale schimbărilor de preţ din piaţa financiară este o caracteristică importantă a proceselor financiare.Există clase de corelaţie de scurtă şi lungă durată ale proceselor stohastice, şi există multe studii empirice privind acestă comportare a datelor financiare. Atunci când variabilele stohastice sunt independente, staţionaritatea implică faptul că procesul stohastic este identic independent distribuit. Un proces stohastic este staţionar dacă pdf-ul său este invariant la o deplasare temporală. Această definiţie este considerată câteodată a fi o definiţie foarte strictă a unui proces stohastic, şi este numită de fizicieni „staţionaritate în sens strict”. Sunt de altfel definiţii mai puţin restrictive ale staţionarităţii unui proces [78]. Finitudinea ariei de sub funcţia de autocorelaţie dă informaţii asupra scalei temporale tipice a memoriei procesului. De fapt, ca o aproximaţie de ordin zero, este posibil să modelăm procesul spunând că o corelaţie totală este prezentă până la un timp caracteristic şi nici o corelaţie nu este prezentă pentru timpi mai mari. Totuşi, nu toate integralele funcţiilor monoton descrescătoare sunt finite [79].

Dinamica stohastică a preţului unui bun financiar poate fi descrisă aproximativ de un drum aleatoriu caracterizat de o corelaţie de durată mică. Analizele empirice ale datelor financiare arată că schimbările de preţ nu pot fi descrise ca un proces stohastic staţionar în sensul strict, atâta timp cât deviaţia standard a schimbărilor de preţ, anume volatilitatea, este dependentă de timp pe pieţele reale. Totuşi, forma de staţionaritate care este prezentă pe pieţele financiare este în cel mai bun caz o staţionaritate asimptotică. Analizând serii temporale suficient de lungi, pdf-ul asimptotic al schimbărilor de preţ poate fi analizat, şi asimptotic dă proprietăţile statistice de lungă durată ale proceselor stohastice.

Schimbările de preţ sunt necorelate reciproc, acesta este comportarea statistică observată în datele empirice. O memorie temporală de numai câteva minute este observată în schimbările indicilor financiari. De aemenea o memorie slabă de lungă durată pare să fie prezentă în schimbările de preţ aşa cum se observă în evoluţia temporală a volatilităţii, care este corelată pe durate lungi cu o densitate spectrală de tipul 1/f.

Modele stohastice ale dinamicii preţurilor - Proprietăţile statistice ale evoluţiei temporale ale preţurilor joacă un rol esenţial în modelarea pieţelor financiare. De exemplu, cunoaşterea naturii stohastice a preţului unui bun financiar este crucială în valorizarea raţională a preţului produselor derivate. Caracterizarea completă a unui proces stohastic necesită cunoaşterea densităţilor de probabilitate condiţionată pentru toate ordinele. Această sarcină extraordinară nu poate fi atinsă în practică. Abordarea empirică folosită de fizicieni este realizată în doi paşi. Primul constă în investigarea corelaţiilor temporale şi ale spectrului de putere, pe când cel de al doilea se ocupă de studiul pdf-ului asimptotic.

Cel mai comun model stohastic al dinamicii preţurilor stocurilor presupune că logaritmul său este un proces difuziv, şi că incrementele acesui logaritm se presupun a fi Gaussian distribuite. Acest model, cunoscut ca mişcarea geometrică Browniană, dă o primă aproximaţie a comportării observate în datele empirice. Totuşi, deviaţii sistemetice de la predicţiile acestui model sunt observate, distribuţiile empirice fiind mai degrabă leptokurtice decât Gaussiene. O distribuţie puternic leptokurtică este caracterizată de un maxim mai îngust şi mai proninţat, şi de o coadă mai întinsă decât în cazul Gaussian. Gradul de leptokurticitate este mult mai mare pentru datele de mare frecvenţă.

Scalarea şi evenimentele rare - nu există un model acceptat de toţi cercetătorii privind evoluţia temporală a logaritmului preţurilor. Orice model trebuie să concorede cu observaţiile empirice şi implicit să poată răspunde la întrebări ca: este momentul secund al distribuţiei schimbărilor de preţ finit?; este prezentă auto-similaritatea?; dacă este prezentă auto-similaritatea, care este natura ei?; peste ce interval de timp este prezentă auto-similaritatea?

Una dintre cheile descrierilor proprietăţilor statistice ale preţurilor stocurilor se referă la „evenimentele rare”, anume la rarele apariţii ale unor pulsuri mari, pozitive sau negative. Analiza cantitativă a acestor proprietăţi este dificilă, şi sunt necesare baze de date extrem de mari (sau pe perioade extrem de lungi) pentru a trage nişte concluzii de încredere. Un studiu [87], a analizat comportarea de înaltă frecvenţă pe o perioadă de doi ani a celor mai mari 1 000 companii tranzacţionate la trei pieţe majore de stoc (NYSE, AMEX şi NASDAQ). Comportarea în ansamblu a evenimentelor rare a acestor companii a fost studiată considerând distribuţia cumulativă a variabilei normalizate, distribuţia cumulativă a probabilităţii a fost găsită ca fiind de tip putere pentru valori mari ale lui argumentului legii purere, atât pentru valori pozitive cât şi negative ale sale. Acest rezultat este de asemenea în concordanţă cu concluzia că momentul secund al schimbărilor preţurilor este finit [88, 89].

Procesele arch şi garch - există dovezi puternice empirice şi teoretice ce susţin concluzia că volatilitatea logaritmului schimbărilor de preţ a unui bun financiar este un proces stohastic dependent de timp. O posibilitate de descriere a proceselor stohastice caracterizate de varianţă (volatilitate) dependentă de timp, sunt aşa numitele procese ARCH, introduse de Engle in anul 1982 [90]. Modelele ARCH au fost aplicate la câteva arii diferite ale economiei. Exemple includ media şi varianţa inflaţiei Marea Britanie, ratele dobânzilor, şi ratele de schimb monetar. Modelele ARCH sunt larg studiate în economie şi finanţe şi literatura dedicată lor este enormă. Ele pot fi de asemenea atractive pentru descrierea sistemelor fizice. Modelele ARCH sunt modele simple care pot descrie un proces stohastic care este local nestaţionar dar asimptotic staţionar. Aceasta implică faptul că parametrii ce controlează funcţia densitate condiţionată de probabilitate la un timp fluctuează. Totuşi, o asemenea dependenţă temporală „locală” nu împiedică procesul stohastic să aibă un pdf asimptotic bine definit.

Procesele ARCH sunt modele stohastice motivate empiric, discrete temporal, pentru care varianţa la timpul t depinde, condiţional, de anumite valori trecute ale pătratelor semnalului aleatoriu însuşi. Procesele ARCH definesc clase de modele stohastice deoarece fiecare model specific este caracterizat de un număr dat de parametrii de control şi de o formă specifică a pdf-ului, numită pdf condiţionat, a procesului ce generează variabila aleatoare la timpul t.

Procesele ARCH şi GARCH sunt clase extrem de interesante de procese stohastice. Ele sunt larg folosite în finanţe, şi vor fi folosite curând şi în alte discipline. Referitor la datele de înaltă frecvenţă ale stocului de piaţă, procesele ARCH/GARCH cu pdf condiţional Gaussian sunt în stare să descrie pdf-ul schimbărilor de preţ pentru un orizont temporal dat, dar eşuează în a descrie potrivit proprietăţile de scalare ale pdf-urilor la diferite orizonturi temporale.

Pieţele financiare şi turburenţa - una dintre obiecţiile ridicate deseori faţă de abordarea fizicienilor care lucrează cu sisteme economice este acela că acest tip de activitate nu poate fi o ramură a fizicii deoarece „ecuaţia de evoluţie a procesului” este necunoscută. Dar dacă acest criteriu – cerinţa ca Hamiltonianul procesului să fie cunoscut sau posibil de obţinut – ar trebui aplicat explicit, câteva domenii de cercetare fructuoase din fizică ar fi descalificate, de exemplu, modelarea frecării sau multe studii din aria fizicii materiei granulare. Mai mult, un număr de probleme care sunt descrise în fizică de o ecuaţie bine definită [91] – ca turburenţa – nu sunt rezolvabile analitic, chiar folosind un aparat matematic şi fizic sofisticat.

La nivel calitativ, turburenţa şi pieţele financiare sunt în mod avantajos similare. De exemplu, în turburenţă, putem injecta energie la o scală mare, şi observând apoi maniera în care energia este transferată la scale succesiv mai mici. În sistemele financiare „informaţia” poate fi injectată în sistem la o scală mare şi reacţia la această informaţie este transferată către scale mai mici – până la investitorul individual. Într-adevăr, cuvântul „turburent” a intrat în uzul comun de când fluctuaţia preţurilor în finanţe este asemănată cu fluctuaţiile vitezei din turburenţă. Este acestă paralelă calitativă folositoare la un nivel cantitativ, astfel încât înţelegerea noastră asupra turburenţei poate fi relevantă în înţelegerea fluctuaţiilor preţurilor?

Discuţia turburenţei în paralel cu modelarea stohastică a a preţurilor stocurilor arăta cât de fertililă este abordarea interdisciplinară, prezentând importante aspecte calitateive similare.

Corelaţie şi anticorelaţie între stocuri - una dintre cele mai atrăgătoare idei din econofizică este aceea că pieţele financiare pot fi descrise similar cu descrierea de succes a fenomenelor critice. Fenomenele critice sunt fenomene fizice care apar în spaţiu (real sau abstract) şi timp. Putem să nu considerăm numai un produs şi evoluţia sa temporală, ci putem discuta o abordare bazată pe investigarea simultană a câtorva serii temporale de preţuri de stoc aparţinând unui anumit portofoliu. Într-adevăr, prezenţa unor corelaţii încrucişate (şi anti-corelaţii) între perechi de stocuri este binecunoscută de mult timp, şi joacă un rol cheie în teoria selecţiei celui mai eficient portofoliu a unor bunuri materiale [92, 93]. Proprietăţile specifice ale matricei de covarianţă a întoarcerilor stocurilor unui portofoliu dat a fost investigat pe larg. Problemele importante ale acerstei taxonomii sunt detectarea numărului de factori economici care afectează dinamica preţurilor stocurilor pe o anumită piaţă financiară [94], şi evaluarea deviaţiilor observate dintre datele pieţei şi rezultatele aşteptate din teoria matricelor aleatoare [95, 96].

Analizele coeficienţilor de corelaţie şi ale matricei de covarianţă ale preţurilor bunurilor de pe pieţele financiare arată că este prezentă o sincronizare între perechile de date. Este plauzibil ca prezenţa unui grad relevant de inter-corelaţie între stocuri să trebuiască să fie luată în consideraţie la modelarea pieţelor financiare. Evidenţa existenţei unui mic număr de factori economici care conduc evoluţia un mare număr de bunuri, este de asemenea detectată. Aceste informaţii nu sunt inconsistente cu ipoteza pieţei eficiente deoarece sincronizarea dintre bunuri şi existenţa unor factori economici nu implică direct predictibilitatea temporală a preţurilor viitoare ale bunurilor. Inter-corelaţiile pentru perioade date de timp, şi cunoaşterea precisă a naturii factorilor şi a dinamicii lor, dacă sunt prezenţi, va furniza posibilităţi de arbitraj şi deviaţii de la eficienţa pieţei.

Taxonomia unui portofoliu de stocuri - coeficientului de corelaţie ne permite să cuantificăm gradul de sincronizare al stocurilor. Acest concept este util în două moduri, ne permite să definim o metrică care să furnizeze distanţa relativă dintre stocurile unui anumit portofoliu, şi ne furnizează o metodă pentru a extrage informaţii economice stocate în seria temporală a preţurilor de stoc. Un punct cheie în teoria informaţiei este acela că o serie temporală care nu este redundantă adeseori formează un proces aleatoriu. Ştim astâzi că este posibil să implementăm strategii care să ne permită să obţinem taxonomii semnificative dacă plecăm de la analiza sincronă a seriilor temporale ale preţurilor a mai multor stocuri. Concret, putem regăsii părţi ale informaţiei stocate în seriile temporale ale preţurilor individuale dacă calculăm distanţele dintre perechile de stocuri ale portofoliului, şi presupunem că spaţiul ultraparametric sub-dominant este o topologie potrivită [97, 98] .

Contracte pe pieţele idealizate şi cele reale - dinamica preţurilor este un subiect complex, şi un model definitiv nu a fost încă realizat. Complexitatea întregului sistem financiar este încă şi mai mare. Nu este vorba numai de complexitatea tranzacţionării produselor financiare, o sursă suplimentară de mărire a complexităţii vine din distribuţia contractelor financiare pe aceste bunuri financiare fluctuante. O clasă importantă de contracte financiare este aceea a produselor derivate, a produselor financiare al căror preţ depinde de preţul altor produse financiare [99, 100]. Soluţia Black & Scholes pentru problema preţ/opţiune este o piatră de hotar în finanţele moderne. Modelul lor privind activitatea financiară prinde trăsăturile fundamentale ale pieţei financiare reale. Unele aspecte, nu reflectă totuşi pe deplin comportarea stohastică observată pe piaţa reală. De exemplu ipoteza Gaussiană a schimbărilor în logaritmul preţurilor stocurilor este incorectă – în special atunci când schimbările sunt de înaltă frecvenţă. De asemenea drumul realizat de preţul bunului urmărit poate fi discontinuu la momentul sosirii unor informaţii economice relevante şi volatilitatea unui anumit stoc sau inex şi rata de interes nu sunt constante, şi sunt ele însele procese aleatoare.

Modelarea pieţei financiare reale este numită câteodată modelarea „pieţelor cu imperfecţiuni. Terminologia folosită în literatura economică sugerează o paralelă perfectă cu un scenariu similar observat în ştiinţele fizice. De exemplu, este mult mai simplu să construieşti o descriere generalizată a mişcării unui sistem mecanic într-o lume idealizată fără frecare decât în lumea reală. O situaţie similară este întâlnită atunci când comparăm termodinamica de echilibru cu cea de ne-echilibru. A cunoaşte proprietăţile statistice ale dinamicii preţului unui produs este crucial pentru modelarea pieţei financiare reale. Avem nevoie să cunoaştem proprietăţile statistice ale dinamicii unui anumit produs înainte de a putea determina preţul raţional al unei contract emis pe bunul respectiv. Discontinuitatea în variaţia preţului bunului este numai una dintre „imperfecţiunile” care ne forţează să căutăm o procedură mai puţin generală preţ/opţiune. Altă „imperfecţiune” a pieţei reale constă din caracterul aleatoriu al volatilităţii preţului bunului. Atunci când volatilitatea aleatoare este prezentă, nu este în general posibil să se găsească preţul opţiunii presupunând simplu că nu sunt posibilităţi de arbitraj. În unele modele, preţul de piaţă al riscului de volatilitate trebuie specificat înainte de a fi obţinută ecuaţia cu derivate parţiale a preţului opţiunii.

Este o abordare comună în ştiinţă să se folosească un sistem model pentru a înţelege aspectele fundamentale ale unei probleme ştiinţifice. Modelul idealizat nu este capabil să descrie toate aspectele observate pe sistemul real, dar este capabil să le descrie pe acelea care sunt esenţiale. De îndată ce volatilitatea modelului idealizat este apreciată, expresii şi generalizări ale modelului sunt realizate pentru a încerca o mai bună descriere a sistemului real aflat sub discuţie. Unele extensii nu modifică natura soluţiei obţinute folosind modelul, dar altele o fac. Modelul Black & Scholes este unul dintre cele mai de succes modele idealizate folosite curent. De la data introducerii sale a apărut o mare cantitate de material ştiinţific ce se ocupă de extensia modelului, aceste extensii par să relaxeze presupuneri care pot să nu fie realiste pentru piaţa financiară (găsirea preţului opţiunilor folosind rata de interes stohastic [101]; găsirea preţului opţiunilor folosind procese difuziune-salt/salt-pur ale preţului stocului [102]; găsirea preţului opţiunilor folosind volatilitatea stohastică [103]; şi găsirea preţului opţiunilor folosind distribuţii ne-Gausiene ale logaritmului preţurilor şi folosind distribuţii Lévy trunchiate [104])

Cunoaşterea completă a proprietăţilor statistice ale dinamicii întoarcerilor bunurilor financiare este esenţială pentru motive fundamentale şi aplicative. Această cunoaştere este esenţială pentru construirea şi testarea modelelor statistice ale pieţei financiare, dar acest scop nu a fost încă atins.

Fizicienii statisticieni şi teoretici pot contribui la rezolvarea acestor probleme ştiinţifice prin împărţirea – cu cercetătorii din alte discipline implicate – problemelor de bază din domeniul fenomenelor critice, sistemelor dezordonate, scalării, şi universalităţii care au fost dezvoltate pe parcursul ultimilor ani.

Procese stohastice şi procese deterministice, controlul comportării - Seriile temporale ce descriu evoluţia unor procese dinamice financiare complexe prezintă corelaţii puternice între variabile pe multe grade de libertate. Este un lucru general acceptat că economia aparţine clasei sistemelor foarte complexe şi din punctul de vedere al fizicii trăsăturile dinamice fundamentale trebuie descrisă atât prin modele deterministice cât şi prin analiză statistică [1].

Controlul unor procese economice şi sociale este fără doar şi poate unul dintre cele mai incitante sarcini pe care economiştii şi politicienii le pot avea. Controlul unor procese atât de complexe poate fi reevaluat la nivel ştiinţific dacă se face apel la teoria controlului haosului [105-106]. Modele de control bazate pe metoda feedback-ului întârziat pot fi aplicate cu succes pentru a suprima haosul deterministic în modelele micro-economice [107-108]. Plecând de la metoda OGY (Ott, Grebogi şi Yorke) care aplică observaţia că o soluţie haotică are în imediata vecinătate un număr infinit de orbite periodice instabile. Cu toate că este bine acoperită din punct de vedere teoretic implementarea practică este limitată de faptul că toate mărimile necesare pentru a calcula valorile parametrilor de control ai sistemelor nu sunt date direct dintru-un lanţ de date experimentale şi pentru a putea aplica un control trebuie să supunem sistemul unei analize complexe. Dar chiar şi aşa există abordări care arată modalităţile de aplicare ale metodei în cazul sistemelor microeconomice [109]. Spre deosebire de această metodă, Pyragas a introdus o modalitate de control a haosului pentru care cunoaşterea ecuaţiilor de evoluţie ale sistemului nu este necesară [110-111]. Traiectoria unui sistem continuu temporal, sub influenţa unei forţe de control, forţă stabilizatoare devine stabilă şi predictibilă. Importanţa metodei (autosincronizarea prin feedback întârziat) este aceea că parametrul de control poate fi făcut să tindă la zero atunci când sistemul atinge orbita dorită.

Diferite alegeri ale forţei de control au fost folosite pentru varianta discretă temporal a problemei. Rezultatele analitice (bazate pe teoria Floquet) au arătat că limitările controlului sunt corelate cu numărul de multiplicităţi reale Floquet (corespunzând cu orbitele dorite) care sunt mai mari decât unitatea. În aceste tipuri de control prin feedback ale sistemelor s-au observat o serie de tipuri de bifurcaţii (inclusiv Hopf) [112].

O serie întreagă de modele „fizice” microeconomice au fost elaborate, dintre acestea unele deosebit de simple, ca extensia la economie a modelului neliniar Richardson a cursei înarmărilor [113], pentru care controlul prin aplicarea forţei stabilizatoare poate fi realizat în condiţii optime.

3. Controlul manifestării haotice în fizică şi într-o colectivitate

micro-economică

Stabilizarea Haosului în sistemele fizice. Problema stabilizării unei comportări haotice a unui sistem fizic prin transformarea orbitelor in orbite periodice sau prin obţinerea unei stări stabile este îndelung studiata atât de teoreticieni cat si de experimentatori. Avantajul folosirii atractorului haotic este acela ca prezintă o infinitate de orbite instabile diferite si deci asigura o larga gama de opţiuni in ce priveşte alegerea adecvata a parametrilor.

Cele mai folosite metode de reducere a haosului la orbite periodice se bazează pe: ·determinarea direcţiilor stabile si instabile intr-o secţiune Poincaré; ·proceduri de feedback autocontrolat; ·introducerea unei mici modulaţii a parametrului de control; ·cunoaşterea unei comportări dinainte definite.

În ceea ce priveşte metoda introducerea unei mici modulaţii a unui parametr de control, teoretic s-a obţinut suprimarea haosului in dinamica diferitelor modele. De asemenea, controlul haosului cu ajutorul micilor modulaţii nu a fost demonstrat in general, anumite modele specifice arătând reducerea exponenţilor Lyapunov ceea ce conduce la stabilizarea soluţiilor periodice uşor instabile. Din punct de vedere experimental, s-a demonstrat ca micile modulaţii permit controlarea haosului in diferite sisteme dinamice cum ar fi sisteme magnetoelastice bistabile, circuite electronice sau laseri cu modularea pierderilor.

Hubler si Luscher [9] au propus stimularea rezonanţei pentru controlul oscilatorilor neliniari. In acest caz, vectorul perturbatei s-a calculat ca diferenţa dintre dinamica dorita si dinamica sistemului liber. Aceasta metoda are avantajul ca se tine cont de informaţia conţinută in sistemul neperturbat. Din nefericire, metoda nu poate fi uşor folosita deoarece in general anumite variabile nu sunt direct accesibile si introducerea coordonatelor întârziate ar fi greu de făcut in timp real. De asemenea dinamica impusa de aceasta metoda nu poate fi totdeauna implementata prin mici perturbaţii si sunt necesare corecţii de acelaşi ordin cu semnalul principal.

Metodele de feed-back au la baza ideea de reintroducere in sistemul laser haotic a unei părţi dintr-un parametru de control al sistemului. Aceasta metoda prezintă dezavantajul ca feed-back-ul este mai greu de obţinut in sisteme haotice cu structuri complicate unde mult mai uşor de folosit sunt metodele de modulare.

Stabilizarea haosului folosind cuplajul dintre doua sisteme haotice se realizează prin sincronizarea oscilatorilor haotici neliniari folosind o mica parte din semnalul de ieşire a sistemului master care este injectată în sistemul slave. Aceasta metoda are importante aplicaţii in domeniul comunicaţiilor unde sunt prezente câteva posibilităţi de folosire a haosului: „chaos masking”, „chaos modulation” si „chaos shift keying”. In primul caz, mesajul nu este codificat in semnalul purtător ci doar este adăugat acestuia, in timp ce in al doilea caz purtătoarea este modulata de mesaj. In ambele sisteme, intensitatea mesajului trebuie sa fie suficient de mica pentru a se evita detecţia in domeniile de timp sau frecventa. In ultimul caz, chaos „shift keying” se bazează pe definirea a doua orbite haotice clar separate pentru bitii 1 si 0. Decodorul reprezintă copia sistemului de transmisie unde sunt configurate doua orbite separate pentru detecţia biţilor 1 si 0. In aceasta metoda stabilizarea haosului se realizeaza prin cuplajul celor doi oscilatori master-slave, mesajul transmis putând fi decodificat datorita stabilizării orbitelor.

Stabilizarea Haosului în sistemele economice. Modele de control bazate pe metoda feedback-ului întârziat pot fi aplicate cu succes pentru a suprima haosul determinist în modelele micro-economice [10-11]. Plecând de la metoda OGY (Ott, Grebogi şi Yorke) care aplică observaţia că o soluţie haotică are în imediata vecinătate un număr infinit de orbite periodice instabile. Cu toate că este bine acoperită din punct de vedere teoretic implementarea practică este limitată de faptul că toate mărimile necesare pentru a calcula valorile parametrilor de control ai sistemelor nu sunt date direct dintru-un lanţ de date experimentale şi pentru a putea aplica un control trebuie să supunem sistemul unei analize complexe. Dar chiar şi aşa există abordări care arată modalităţile de aplicare ale metodei în cazul sistemelor microeconomice [12].

Pentru a exemplifica într-un mod simplu acest tip de control al unei manifestări haotice simple să apelăm la modelul consacrat al hărţii logistice ce-şi are originea în modelul dinamicii densităţii de populaţie a unei specii în schimbarea ei anuală, model creat de P.F. Verhulst (1845), care este şi prototipul hărţilor haotice: , unde parametrul a caracterizează evoluţia populaţiei. Putem să observăm prezenţa a doi termeni, primul o creştere liniară, prin „reproducere”

şi cel de al doilea termen o restricţie ne-liniară (prin limitarea resurselor de hrană), care previne o creştere nelimitată a populaţiei, . Modelul poate căpăta o formă mai compactă, , unde parametrul r (parametru neliniar r Î [0, 4]) şi condiţiile iniţiale x₀ Î [0, 1], reprezintă parametrii importanţi privind evoluţia „diâscretă” (anuală), a populaţiei modelate. În funcţie de valorile acestor parametrii sistemul poate evolua spre un punct fix, o traiectorie periodică sau una haotică. Dacă sistemul evoluează pe o traiectorie haotică, controlul asupra acestei evoluţii se poate realiza, ca şi în cazul majorităţii hărţilor iterative ce urmează orbite periodice instabile, prin aplicare unui feedback în variabila hărţii. Fie g, procentul de populaţie care este controlată (prin modificarea lui x la fiecare Dn iteraţii), adică . Abilitatea de a controla în acest fel evoluţia haotică depinde critic de valoarea acestor doi parametrii (Dn fiind corelat cu periodicitatea principală a ciclului observat).

În figurile de mai jos prezentam evoluţia dinamică a modelului. In Figura 1 evoluţia haotică, fără feedback, pentru valorile parametrilor x₀=0.8 şi r=3.6. În Figura 2 se prezintă evoluţia modelului la care s-a aplicat feedback, g=0.04 şi Dn=5, dar într-o perioadă anterioară stabilizării, sunt prezentate atât punctele evoluţiei dinamice libere, cu roşu, cât şi punctele modificate datorită aplicării unui feedback la fiecare Dn puncte, cu verde. În Figura 3 se prezintă cazul apropierii de zona de stabilizare, când sistemul tinde să iasă dintr-o evoluţie haotică spre una periodică, predictibilă. În Figura 3 se observă trecerea hărţii logistice cu control prin feedback activ dintr-o dinamică haotică într-o dinamică periodică, durata (numărul de iteraţii) după care poate apărea o astfel de manifestare depinzând de dinamica sistemului, de parametrii de control şi de parametrii de feedback, variind de la sute sau mii, la un numere foarte mari. În Figura 4 se observă revenirea sistemului la o dinamică haotică odată cu încetarea feedback-ului

Chiar dacă metoda este aplicată unei dinamici extrem de simple (harta logistică) ea prezintă pe deplin potenţele metodei de trecere a unui sistem dinamic dintr-o evoluţie haotică, impredictibilă pe termen lung decât prin mijloacele teoriei probabilităţilor, într-o evoluţie periodică, predictibilă. Se demonstrează astfel modul în care, chiar pentru sisteme la care dinamica nu este cunoscută, se poate controla evoluţia sistemului, în acest caz printr-o metodă de feedback activ, dezvoltată în fizică pentru multe procese.

Fig. 1. Evoluţia haotică a hărţii logistice

Fig. 2. Evoluţia hărţii logistice controlată prin feedback, înainte de stabilizare

Fig. 3. Trecerea hărţii logistice dintr-o dinamică haotică într-o dinamică periodică datorită feedback-ului

Fig. 4. Revenirea la o dinamică haotică odată cu încetarea feedback-ului

Spre deosebire de această metodă, Pyragas a introdus o modalitate de control a haosului pentru care cunoaşterea ecuaţiilor de evoluţie ale sistemului nu este necesară [10,13-14]. Dacă traiectoria unui sistem continuu temporal, r(t), sub influenţa unei forţe de control este

şi în absenţa controlului (kº0) perioada orbitelor periodice instabile este t, atunci putem folosii ca forţă stabilizatoare forţa dată de:

unde este o mărime scalară şi poate fi obţinută din măsurarea traiectoriei sistemului r(t), s_v fiind un parametru de control. Importanţa metodei (autosincronizarea prin feedback întârziat) este aceea că parametrul de control poate fi făcut să tindă la zero atunci când sistemul atinge orbita dorită.